这是一系列关于数论的介绍性文章，目的在于推广数学知识，拓展读者的数学思维。至于为什么用图文而不是视频？图文有三个优越性：一是图文数据量小，节省学习时间；二是有助于个人主动思考；三是文字里的关键字，可以方便读者查阅相关资料。
勾股定理，即毕达哥拉斯定理，是一个初高中的一个简单公式，它表明人一个直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。用公式表示就是
。
1. 直角三角形
因为对数论(即自然数理论)感兴趣，所以我们会问是否存在毕达哥拉斯三角形，它的所有边长都是自然数。有许多这样的三角形，最著名的例子是边长为3，4，5的三角形。下面是前几个例子:
对这些毕达哥拉斯三元组（下称勾股数组）的研究，在毕达哥拉斯时代以前很久就开始了。包含这种三元组的巴比伦表格中甚至有很大的三元组，这表明巴比伦人可能拥有得到这种三元组的系统方法，更令人惊讶的是，巴比伦人似乎使用他们的勾股数组表作为原始的三角形表。古埃及人也使用勾股数组，例如，产生直角的粗略方法是取一根绳子，将其分成12等份，系成一个圈再绷成一个3-4-5三角的形状，如图2所示，这为标记地界或建造金字塔等提供了一种廉价的直角工具。
2. 12等分绳结
巴比伦人与古埃及人拥有研究勾股数组的实际理由，这种实际理由仍存在吗？对于这种特殊问题，答案是“未必”。然而研究勾股数组至少有一种好的理由，与值得研究伦布兰特艺术和贝多芬音乐的理由相同，数之间相互影响方式的美正如油画或交响乐创作的美。为欣赏这种美，人们不得不花费大量精力，但是这种努力是值得的。
让我们看些实例。第一个朴素问题是，是否存在无穷多个勾股数组，即满足方程
的自然数三元组（a，b，c）。答案是“肯定的”，如果取勾股数组（a，b，c），用整数d乘它，则得到新的勾股数组（da，db，dc）这是成立的，因为
显然，这些新的勾股数组并不令人感兴趣。所以我们转而关注没有（大于1）公因数的三元组。我们甚至给它们起个名字：
本原勾股数组是一个三元组（a，b，c），其中a,b,c没有除了1之外的公因数，且满足
.
参考科学研究方法里的研究步骤，第一步是积累数据，使用计算机代入具体的a，b值并检查
是否为平方数，下面是得到的一些本原勾股数组：
（3，4，5），（5，12，13），（8，15，17）,（7，24，25）,
（20，21，29）,（9，40，41）,（12，35，37）,（11，60，61），
（28，45，53）,（33，56，65）,（16，63，65）.
由这个短表容易得到一些结论。例如，似乎a与b奇偶性不同且c总是奇数。
不难证明这些猜想是正确的。首先,如果a与b都是偶数，则c也是偶数，这意味着a，b， c有公因数2，所以三元组不是本原的。其次，假设a，b都是奇数，那么c必是偶数。于是存在整数x，y，z使得
α = 2x + 1,，b = 2y + 1， c = 2z.
将其代人方程
得
.
两边除以2得
.
最后一个等式说的是一个奇数等于一个偶数，这是不可能的，所以a与b不能都是奇数。因为我们已证明它们不可能都是偶数，也不可能都是奇数，故它们的奇偶性不同，再由方程
可得c是奇数。
考虑到a，b的互换性，我们的问题化为求解方程
，a是奇数，b是偶数， a,b,c没有公因数的所有自然数解。
这里使用的工具是因数分解和整除性。
我们的第一个观察如下：如果（a， b， c）是本原勾股数组，则可进行因数分解
下面是来自前面列表的例子，注意我们总是取a是奇数且b是偶数：
似乎c-b与c+b本身总是平方数。我们用另外两个例子验证这个观察：
怎样证明c-b与c+b都是平方数呢？由前面的列表，另一个观察是c-b与c+b似乎没有公因数，我们可如下证明这个断言：假设正整数d是c-b与c+b的公因数，即d整除c-b与a+b，则d也整除
因此d整除2b与2c。但是b与c没有公因数，这是因为我们假设了(a，b，c)是本原勾股数组。从而d必等于1或2。但d也整除(c-b)(c+b)=a且a是奇数，故d必等于1。换句话说，整除c-b与c+b的数只能是1，所以c-b与c+b没有公因数。
现在我们知道c-b与c+b没有公因数而且由于
，所以c-b与c+b的积是平方数。这种情况只有在c-b与c+b自身都是平方数时才出现。记
，
其中 t \geq 1″>
是没有公因数的奇数，关于b和c解这两个方程得
于是
这就完成了第一个证明，下述定理记录了我们的结果。
定理2.1(勾股数组定理) 每个本原勾股数组（b，c）（其中a为奇数，b为偶数）都可从如下公式得出:
其中 t \geq 1″>
是任意没有公因数的奇数。
例如,如果取t=1，则得三元组
，它的b与c值仅相差1。这就解释
了上面列出的许多例子。下表列出了
时所有可能的三元组。
示例
最后，做一下所以。
- 解决问题的科学方法很重要，从示例观察中发现规律，并验证，然后推广。
- 数论的证明，要充分考虑数的分类，基础的奇偶性的分类，自然数是无限的，无法穷举，把数分类，简化了问题。
留个问题，古巴比伦人如何把一根绳子12等分的？
