微分中值定理中介绍过泰勒中值定理(带有拉格朗日型余项的泰勒公式)，它可以用柯西中值定理证明。不过这里还是先推导出带有佩亚诺型余项的泰勒公式，然后自然地过渡到带有拉格朗日型余项的泰勒公式。
根据微分的定义可知，若函数f在点x0可导，则有
即用
的一次多项式
逼近
其误差为
的高阶无穷小
进一步，猜测可以用的n次多项式逼近其误差为
现在先考虑
为n次多项式
的情形。逐次求它在点x0的各阶导数，得到
即
由此可见上述多项式函数的各项系数由其在点x0的各阶导数唯一确定。
类似的，对于一般函数
设它在点x0处存在1到n阶的导数，现在尝试由过点x0，且在点x0处的从1到n阶导数分别与
在点x0处的1到n阶导数相等的n次多项式
(也称为函数f在点x0的泰勒多项式，各项系数称为泰勒系数)来逼近该函数，并证明其误差为定理
若函数f在点x0存在直至n阶导数，则有
证:设现在只需要证明
由于
在x0处的值及1至n阶导数相等，可知
另外容易得到
由于
存在，所以在x0的某邻域U(x0)上f有定义，且存在直至n-1阶导函数。于是，当
时，连续使用洛必达法则可以得到
形如
的余项叫作佩亚诺型余项，定理中的式子又叫带有佩亚诺型余项的泰勒公式，当x0=0时，又叫作带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式。
带有佩亚诺型余项的泰勒公式表明用多项式逼近满足定理条件的函数时，其误差(余项)是
但并没有给出定量的表示，不适用于需要估算误差的数值计算，但用于很多函数求极限时会使问题大大简化。相反，带有拉格朗日型余项的泰勒公式的误差(拉格朗日型余项)是定量表示，很适用于数值计算。
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